二章、五个量建构的世界

这一节只教一到五的加法，因为在上一节中，小朋友只教了一到五的概念，所以须将「和」限制在五之内（下面表格中的灰色部分）。第一列与第一行之所以涂上不同的颜色，是为了配合古氏积木做联想。

准备：发给小朋友一到五的积木各一根，然后再加发一和二的积木各一根。

甲、被加数是一，加数是二、三、四

动作①

教师拿出两个白色积木，把二者接在一起，口中念道：「一加一等于二」，或者「一和一造成三」。然后拿起红色积木排在二者下方，如图：

动作②

教师拿出白色和红色的积木，把二者接在一起，口中念道：「一加二等于三」，或者「一和二是三」。然后拿出绿色积木紧排在二者下方，如图：

教师可以让小朋友把这个图形用手捧起来，展示给所有人看。因为小朋友喜欢在学习活动中伸展肢体。再者，如果没有运用技巧，专注程度不够的话，根本无法从桌面上拿起这个图形。

动作③

教师要小朋友按照上图排出，再念一加三等于四，又排出一图：

动作④

教师念：「一加四等于五」，排出下图：

上面的四个动作整合如下：

乙：被加数是二，加数是一、二、三

被加数是二的三个积木图，整理如下：

丙、被加数是三

丁、被加数是四

动作⑩：四加一等于五。

以上十个动作整合如下

当小朋友只学到一至五的概念时，是否超过五的和就不能算？不！

*积木操作法

分解成两段，即求和超过五的部分。譬如二加四，不说等于六，而说五加一。积木操作法如下：

*第二个积木操作法：制作5×5的的二十五格板

仿效10×10的「百格板」制作出一个5×5的板子，要小朋友将积木排列在「二十五格」板上（如下图）。

细心的读者将会发现，在这个地方，小朋友必须发展两个概念。

一、被加数（第一根积木）需要多少才能凑成五，即加数（第二根积木）要怎么分解。

二、加数分解之后还剩多少。

这两个概念并不需要老师怎么教，只要摆出第一个积木图，小朋友自然而然会发现方法，摆出其它的积木图。

天才教学法的一大特征是少用言语，多用图形来刺激小朋友的推理能力。因此，教师会设计各式各样的活动，但不告诉小朋友活动怎么进行，最多只进行第一步骤，只要看小朋友是否能自动其它步骤，就知道这个活动的设计是否成功，　第一步骤是否指导明确。

二十五格板的教学原理，事实上基于五进位，五进位比十进位简单，对小朋友来说，更容易理解和掌握，如果我们把十进位改成五进位，整个数系会更明朗化。换另一个角度来看，十进位也是五进位的变形，因为它是两个五进位合成的，会五进位，就会十进位，五进位是十进位的前身，也可视为十进位的暖身动作。

*数字越长越好加、两个数字最难加

最难的图形在上面已经出现过了，总共就三个而已。不信，请看下面的题目　数字越多越好加，这跟一般人认为数字越长串，越令人头痛，越容易出错的迷信是相反的。

1+2+3+4+4+3+2+1＝5×4（四个五）

在小朋友还没有学到六这个数字前，我们要换另一种方式来问「总和」：等于几个五，还剩多少。1+2+3+4+4+3+2+1等于四个五，完全没剩。

无论题目出得多长串，总是可以找到凑成五的数组，不信，请随便出一题。

1+3+4+2+4+3+3+1+5＝（1+4）＋（3+2）＋（2+3）＋（4+1）＋（5）＋3+3

不能凑成五的只有最后的3+3，但是这个图形又回到我上面说的三大难题之一。

加法里，最困难的是那三大图形：2+4, 3+3, 3+4。除了这三个难题，没有别的难处，真的没有了！即使是在十进位，也是一样的。

例如，7+9=5+2+5+4=5×2+2+4

*人不可能知道七加三等于十

或许有人会说，他是用七加三等于十，从九中拿走三等于六，所以造成十六。这个算法没错，但它是机械训练之下的成品，因为我们不可能知道七加三等于十，我们真正的概念是二加三等于五。这句话很令人难以置信，一定会有人想跳起来抗议：「我怎么可能不知道七加三等于十。七，再来八九十，这不是三个数字吗？所以七加三等于十。」

直观式数学的思维模式，不是直线，是全面、全方位进行的，一个人看到一个画面是看到整个画面，不是先看到一部分，再看到另一部分。不信的话，请选择一个画面看，然后问自己，哪一个单项先看到，哪一个单项后看到。即使这个画面很大，您还是一秒钟就扫视了一大部分。

再回来谈人为什么知道七加三是十？

因为它看到七的旁边有三个空位，如图。

更精确的说，他根本没有看到七，他看到的是五、二、三。

心理学已经证实，人对超过七的东西是没兴趣的，因为它超过了人类的感官极限。超过七的点，我们没有办法不经过数算，就辨认出来。

积木操作法为什么厉害？因为它化繁为简，它把5+2+3变成三个单项：黄、红、绿。

假设现在有一个人丢出超过七的几个物件，要我们在最短的时间内算出有多少个？数数看，是最糟糕的方式，时间长，又容易心慌意乱数错。最好的方式是分组算，把这几个乱七八糟摆放的物件，按照地理位置最近彼此的方式分组，很快我们就会说：「喔！五、八、四、六等于二十三。」在记忆的串结里，二十三样东西变成了只有四样。

再来，我要举一个闻名的例子来说明直观和降低物件的项目。

例如：12×12。

即是是没有学过乘法，或者受过加减法训练的小朋友，都会很快回答一百四十四？

请思索下列问题：

一、他是先看到黄色，还是先看到橘色，还是红色？
答案：他一次全部看到。

二、他需要去做乘的计算动作，或者加的动作吗？
答案：他两者都不需要。他瞬间就了解答案是多少，只是依照人类的线性语言习惯，他先念有几个百，再念有几个十，最后是几个一。

人类的语言是线性的，人类的动作是线性的，总是有哪个前，哪个后之分，而且一次只能一样。但人类的思考不是线性的，它是全面的，全方位的，甚至是跳跃性的。因此我们会说出：「我不知道我为什么会这样」，或者「我不知道我是怎么理解这件事情的，但我就是忽然领悟了」。

我们说不出道理而又知道的事情，代表我们的思想跳跃了。

直观式数学为何可以称之为天才教育法，其理在此，它是真正配合人类的大脑型态的，它本身就是人类的思考模式。

而符号式数学，它是线性的，需要经过后天的训练、后天的社会化过程，才有可能学会，因此它的学习毋宁说是缓慢的。

许多人接受了符号数学后，不习惯用图像思考，这是因为已经被后天的环境训练成制约反应了，并不是说他天生就是这样的。但无论如何，直观是人类的本能，只要稍加练习，这种能力还是会再现的。

*被减数为五

上文谈到的是「加法」，那么「减法」要怎么进行呢？事实上，减法就已经包括在加法的原理当中了。现在来进行减法，请看下表，共有五个动作：

动作一：

教师念：「五减一等于四」，把白色积木置放于黄色积木的上方，数空位：「一、二、三、四」，答案是四。

教师也可以用口语说：「一排五的积木，盖上一格，请问还剩下几格？」

动作二：

减法就是数空位的动作。教师念：「五减二等于三」，把红色积木至置放于黄色积木上方，数空位一二三，答案等于三。

动作三：

教师念：「五减三等于二」，把绿色积木至置放于黄色积木上方，数空位一二，答案等于二。

动作四：

教师念：「五减四等于一」，把紫色积木至置放于黄色积木上方，数空位一，答案等于一。

动作五：

教师念：「五减五等于零」。把黄色积木置放于黄色积木上方，没有空位，答案等于零。

被减数是五已经进行过了，接下去要进行被减数是四、三、二、一。仿照上面程序，减至不能再减。请自己对照表格，看看哪一部分还没有做。列表是一个非常好的方法，教师和学生都能够看出自己遗漏了什么。天才数学教育法有两个法宝：一操作图像，二列表。前者将会发展成几何概念，后者会演变成排列组合。

如果有小朋友还是数不出空位，教师可以要她在空格上加积木。教师可以这样问小朋友：「这个空格要加上什么颜色的积木」。大部分的小朋友都可以仅凭视觉，就说出颜色。

在上一节中，被加数和加数固定，和不固定；到了这一节倒过来，和固定，是已知条件，求满足此和的被加数和加数有多少组。这样一来，答案不只一组，但是答案要限定在「自然数」的范围内。

所谓自然数，就是计物数，也就是数算人头的数，是人类在最初时对数算和记录物件的努力。而儿童的数学思想发展过程，在很多情况下会和先民的数学思想史不谋而合。

这个题目，如果以纯粹的数学符号语言来写：

1.X+Y=C，
2.X,Y,C属于N
3.当C=1，X=?Y=?
4.当C=2, X=?Y=?
5.当C=3，X=?Y=?
6.当C=4, X=?Y=?
7.当C=5，X=?Y=?

1.是固定不变的条件，也就是这个题目设定的前提。

2.限定题目的范围在自然数上。当然这个限定可以改变，可以把自然数改为其他大范围的数，例如整数、实数等。但是这样一来，X和Y的解的个数学就会变成无限多，变成要在实数系座标上画线，才能表达。但是别忘了，我们这个课程的对象是三岁和三岁以上的小朋友。虽然当小朋友进行到分数或小数的概念时，他立刻会警觉到答案的范围变大，其实是有无限多种的组合答案，但是在这里，我们仍然要将范围限定在一个安全范围内，便利他探索。当然，我们也在期盼有一天，他的另一种觉知会到来，也就是他的观念伸展开来，冲破自然数的限制。这一天就是该教代数和座标的时刻。

天才教育法的老师知道小朋友的前面道路会发生什么事，他早就准备好了，伸出手在那里等候他，所以现阶段的任何课程的安排都是刻意的，不是突发的，因为它是一种铺路课程。

3到7的C是常数。这个常数可以转变，当常数转变时，答案的范围便会扩大。如果我们有座标轴上的二元一次方程式概念，便会看到线段在第一象限上不断扩大，而当中的自然数点组就是答案。

不记得是哪一位思想加说过，任何高深的理论都有办法以诚实的形式化为简单质朴的样貌，而这这种转化的过程就是天才教育课程的设计目标。让我们来看看上面的理论体系如何转化为下面的仿如游戏般的活动。

天才教育并不希望儿童或教师吃到任何苦头，所以大部分的课程都会以游戏和活动的面貌呈现。

*当「和」为二、三、四时

甲、二的自然数组成

教师可以这样问：「多少加多少等于二？」

用浅白的话说就是：「随意挑两根积木造成红色二，问这两根积木是什么颜色、什么数字？」

或许有人甚至会认为这种积木排列活动对小朋友过于简单，因为几乎把分之百的小朋友都会答对。这是我们的目的没错，一开始，我们一定要简单到让小朋友答对，然后再加深难度。为何小朋友都会答对呢？因为他会看积木上的格子。所以如果教师要加深难度的话，可以改换一种没有刻度的积木。但是这个动作务必要等到小朋友熟悉有格子的积木后。

乙、三的自然数组成

再来，数字增大，变成三。

教师问：「用两根积木造成绿色的三，这两根积木是什么颜色？」
学生答：「白色和红色」。

教师问：「可不可以把红色排在前面？」
学生答：「可以。」

学生在无形当中学到加法中的「交换律」。
教师要学生排出如下图形：

丙、四的自然数组成

教师问：「多少和多少造成四？」或者问：「用两根积木连成四，这两根基木是什么颜色：」
学生答：「白色和绿色。」学生也可能这样回答：「红色和红色」。

教师说：「这两种答案都对。白色和绿色可不可以交换排？」
学生答：「可以。」

教师再问：「红色和红色可不可以换位置？」
学生答：「可以。」

教师问：「红色交换位置后，看起来有没有什么不同？」
学生答：「没有。」

教师引导学生排出如下图形。

凡是偶数的组成都会需要两块同色积木：如果是六，就会需要两块三的积木；如果是八，就需要两块四的积木；如果是十，就需要两块五的积木。

现在到了五的组成，教师问小朋友：「多少和多少造成五？」

举出越多种答案的小朋友，其思考越细密，小朋友的天资就在这里显现了。

上图共有「四种」排列法，「两种」组合法。

两种组合一和四，二和三交换位置，变成四种排列法。

排列和组合不同，排列要计较位置，组合只管成分。12和21在排列上不同，在组合上一样。排列则要计较顺序。第一天，早上吃橘子，下午吃香蕉；第二天，早上吃香蕉，下午吃橘子，在排列（顺序）上不一样，而组合（成分）则视为相同。

千万不要小看五的组成这个图形，应该把它牢记在心。不止在以后的加法要用到，而且它已经有令高中生和大学生闻名丧胆的排列组合和数论的味道了。

请思考以下问题：

1.为什么用两个数字组成五，共有四种排列、两种组合？
2. 如果推得出道理，那么用两个数字组成六，有几种排列，几种组合呢？
3. 用两个数字组成六十呢？
4. 如果是用三个数字呢？
5.如果是用四个或五个数字呢？

这当中定然有公式，只要用积木排一排，当会发现定理的。不要以为小朋友不会发现定理，只要他对这个题目留下深刻的印象，他就算今年不发现，明年也会发现的；如果他明年不发现，后年迟早给他发现。而这种题目并不简单，它是高中生或大学生的题目，无论小朋友是今年发现、明年发现、或者后年发现，都不算太晚。

推演公式、发现公式、建构公式的能力，正是我们在数学天才教育法中所要发展的。因此，不要怕给小朋友难度高的题目，这不会挫折到他，反而会在他心中留下一个谜，等时机成熟他自然会把这个谜解开。小朋友的好奇心和猜谜的动机远比成人强烈得多。

*当「和」为五时

用一、二、三、四、五根积木组成五

上面的题目是用两根积木，也可以用三根、四根、乃至于五根，可以把题目出到积木的根数等于数字之合。由于到目前为止，我们只介绍了五根积木，所以必须限制在五的范围以内。

给小朋友难题，须注意一点，就是这个题目的意义必须是他能了解的。对小朋友来说，问题往往出在不了解语言，而不是不了解数学。所以我们要把题目转换成他所了解的语言。请比较以下几种语言：

任意用积木来排成五，请问有几种排列法？可以用一根积木、两根积木、三根积木、四根积木、乃至于五根。

用任意「自然数」构成五，有几种构成法？

X+Y=C，X,Y,C属于N和零。当C的值各为1,2,3,4时，X,Y值若干？

第一种语言是小朋友能够听懂的，第二种和第三种语言是国小高年级或国中生才懂的，但是实这三题是一模一样的问题。由此可知，只要将题目的语言转变以下，即使是很小的小朋友也都是会懂的。所以，回到一个结论，不懂数学的根本原因出在语言，而不是出在数学。天才教育的课程设计工作就是「翻译」语言－－想尽办法翻译成「儿童国」的语言。

在这里，我们还可以发现一个道理，其实数学的真貌就是那些，但是一经翻译，就会有许多题目出现－－所有各种不同的题目都是一种翻译！这就是为何数学公式只有几条，但是题目却多到做不完的真正原因。

*五的16种排列组合及解法

上面的积木图简单吗？不简单，很容易就漏掉几个图形。解决之道是把积木图形摆在家中，就像组合乐高玩具一样，一天排出一部分就好。如果还嫌这个题目太简单，可以挑战十的排列组合。

不要急著一天解出，脑筋会烧坏的！脑力就像体力一样，有用尽的时候，因此只要像盖房子一样，一天盖一部分就够了。这就是为什么我强调小朋友要有个人专用的古氏积木，而不是在教室里玩玩就够了。

解真正的数学题目是一种跑「马拉松」的过程。这种题目绝对不是考试中那种一小时算三十题甚至一百二十题的浅薄题目可比拟。一个花三秒钟就可以解出来的题目，没什么意思，真正的好题目要花好几个月来解。但是这种马拉松题目允许人吃饭、睡觉，等到有心情时再来解。马拉松的题目才是「正宗」数学题目，从解这种题目中，小朋友可以提早体会当数学家的废寝忘食滋味。

培养小朋友推演公式的能力要渐进，不要急躁，到目前为止，我们只给了小朋友五根积木，介绍了一到五的概念而已，请不要兴奋到开始教起排列组合的理论来。有些教师或家长甚至兴奋到丢下小朋友，自己一个人研究数学去了。

再回来谈五的组成，它显示了一个美丽的图形，乍看之下，有某种规律存在。如果不说题目，先以图形示人，把中间空掉几行（如下图），相信许多人也会有办法把空格著上正确颜色。原因在于它有一种凭直觉就可以发现的规律。当人类把这种直觉整理过后，归纳出当中的道理，就成为数学。有经验的教师知道如何抓住学生一闪即逝的直觉，并把它变成数学。

当教师或家长发现「五的组成」对小朋友不再是难事，小朋友在几分钟之内，就很轻松地排出时，那么可以试试「六的组成」、「七的组成」，直到「十的组成」。

在这里，有一个问题产生了！难道每次都要排积木才能发现共有几种排列组合？如果是一百的组成，总不能还是用积木排列的方式吧？有没有规律可循？有！这就要推演公式。但是推演公式的工作应该留给学生去完成，这才是启发之道，教师不应越俎代庖，去替学生完成。不管学生要花几个月，甚至几年，这个工作都应该留给学生去做，反正他年纪还小，有充分的时间慢慢想，想好几年也没关系。这就是右儿的天才数学教育法优越的地方，小朋友有很多的时间让数学的种子慢慢发芽。若是换了已经上高中的学生，教师没有办法等待，当学生推演不出公式的时候，教师只有用「灌」的，以免耽误课程进度。由此，我们可以看出天才教育法是何等的重要了，它不是揠苗助长，相反的，它是给小朋友机会，给小朋友充分的时间让种子发芽。天才教育法是播种子的教育法，所有的课程都是在播种，而不是催收果实。但是由于这个教法培养了小朋友独立思考数学和解题的能力，在很多时候，果实来得很快，甚至让教师措手不及。甚至在很多时候，教师和家长会生出一种感觉：「我的小朋友失控了，我不知道他的脑袋发展到什么地步了，我真不知道该怎么指导他了，我会不会是不够聪明、不够资格来教导他？」

天才教育法，不仅能够培养学生的数学思维能力，也同样能够发展指导者的思考和教学能力。只要指导者跟著每一个教学步骤，跟著小朋友亦步亦趋，就不会有失去方向，不知如何进行下一步骤的感觉。天才教育既有办法教小朋友，难道没有办法教大人吗？虽然小朋友很可能进步得比大人快，原因出在于他永远比大人专注，记忆力比大人好。也许他只玩了五分钟，大人玩了五十分钟，但是他的印象却是牢不可破，维持终身的，这一点只要想想看我们还记得很多小时候的事就可以证明了。

请想想看：幼儿只要认识五根积木，就可建构出如此神奇美丽的图形，就已经在脑里播下排列组合的种子，开花结果是指日可待的事情。为什么大人不用天才教学法，给自己一个机会，给小朋友无限的机会。想想看，如此优越的学习法不用，却要坐等小朋友升上小学高年级、国中、高中，然后眼睁睁地看他讨厌数学、畏惧数学、最后放弃数学？

每一个小朋友都是天生的天才，差别只在于他是否被提供机会成为天才？如果我们在今天就提供他未雨绸缪的课程，那么他将来的前途是无可限量的。

希望读者读到这儿，开始体会一点天才数学教育的手法。简而言之，就是把日后要学的高深理论包藏在今日的简单学习活动中。而这些方法在坊间的教科书和参考书中是见不到的。但是读者们若学了我的数学课程设计理论，就可以自己设计出天才数学教学法来。

有很多人问我为何不从头到尾设计出一系列课程来，好让大家可以如法炮制。诚然我可以尽最大的努力尝试，但在这里要提醒读者一事：当学生不一样时，每一次授课的深度将会不同；当学生的兴趣不同时，每一次的「广度」也会有些不同，广度就是教师所举的例子和应用。天才教育和普通教育最大的不同是，天才教育是「量身订作」，而不是「照章上课」。即使教师事先把课程的内容准备到百分之百完美的地步，也会因为学生的课堂反应而修改。若要量身订做，教师非要有一些课程设计的功力不可，而且要到临场就能设计的水准。

最好是把图形制成大型海报或者挂图，悬在「醒目」的地方。小朋友的观察力非常敏锐，耳濡目染的结果，无形中就会把加法甚至减法的原理印在心中。

一图胜千言，教师说得口乾舌燥，还不如一张挂图。因此，请勿以为制作挂图的力气会浪费掉，它可以节省很多唇舌和教学上的挫折感。教师少说一点话，能保护自己的喉咙；学生多用一点眼睛，能提高自己的心智能力。

面对老是吵嚷不停的学生，也许每一天、每一节课，都要练习一段时间的静默。这段时间可以让学生静听音乐。

海报和挂图是情境教学的一部分，请另寻专书研究。

*1~5的总和：无缺口的积木图

求一长串数字的总和，虽然是算术的家常便饭，但也是使许多学童头痛的问题。原因出在传统的加法，总是按照顺序，从第一个加到最后一个。在积木的加法中，则可以变换顺序，尽量组成矩形或类矩形，如此则很容易看出答案。

例如：1+2+3+4，如果小朋友已经熟悉五的组成，那么她将自然而然排出下列图形：

0 && image.height>0){if(image.width>=510){this.width=510;this.height=image.height*510/image.width;}}">

如果是添加一个五，1+2+3+4＋5，则如下图：

在这里，由于小朋友还没教超过五的量的概念，所以不求总和，只要她们排出矩形积木图就可以了。

如果小朋友不知道矩形是什么，教师可以告诉她排成没有缺口的图形。
看吧！这就是我所谓的机械化训练之下的产品，因为它是用数数看（count）的方式。真正的算术，不用数算，它用直观（visualization）。直观就是一秒钟看到，同一秒钟了解，看和了解同时进行，没有哪个前，哪个后之分。而数数看，需要步骤，不管它数得多快，它都需要步骤，不能跳跃，因为它是直线进行的，就像2004年都还没过完，为什么就想过2006年？